Calculer le rayon de cercles proportionnels
Plusieurs fois au cours de ces dernières années, j’ai du travailler avec des cercles proportionnels en reprenant tout de zéro car les outils utilisés n’implémentaient pas cette variable visuelle « taille ». Maintenant que c’est bien bien clair dans ma tête, je vais revenir sur deux méthodes de calcul du rayon de cercles proportionnels : en partant d’un diamètre minimal donné, ou en partant d’un diamètre maximal donné. Vous allez voir, ces deux formules sont très similaires.
Avant de commencer nos manipulations mathématiques, vous verrez que, dans mes démonstrations, je ne parle pas d’unité car au final ça n’est pas important pour la détermination de la formule de calcul. Cela peut être des pixels (comme quand je travaille avec OpenLayers), des centimètres ou des points (une carte sous Illustrator), etc. Peu importe, c’est vous qui choisirez !
Pour m’aider dans ma démonstration, on va imaginer que l’on a une variable statistique avec plusieurs valeurs et que l’on cherche à cartographier ces valeurs sous forme de cercles proportionnels. En effet, on va avoir besoin, selon la méthode, de connaitre la valeur minimale ou la valeur maximale de notre distribution statistique.
En définissant un diamètre minimal
Pour ce faire, nous avons besoin de fixer d’ores-et-déjà notre diamètre minimal, c’est à dire le diamètre du plus petit cercle présent sur notre carte :
Nous avons aussi besoin de connaitre la valeur minimale de notre variable statistique :
Notre point de départ sera la formule de calcul de l’aire d’un cercle, donc je vous la redonne :
On peut en déduire la formule de calcul de l’aire du plus petit cercle, car c’est lui qui aura le diamètre minimal. Juste pour rappel, le rayon correspond à la moitié du diamètre…
Comme les aires des cercles doivent être proportionnelles, on peut écrire pour l’aire associé à une valeur « n » :
Et comme on connait déjà la formule de la plus petite aire, on peut réécrire la formule précédente :
On peut aussi remplacer l’aire associée à une valeur « n » par sa formule, puisque ce qui nous intéresse c’est d’en connaitre le rayon :
Il ne nous reste plus qu’à simplifier notre formule !
Et voilà notre première formule ! Passons à la méthode suivante…
En définissant un diamètre maximal
Pour cette seconde méthode, la démarche va être la même, mais je refais tout de même la démonstration.
Encore une fois, nous avons besoin de fixer notre diamètre maximal :
Et de connaitre la valeur maximale de notre variable statistique :
Comme précédemment, on peut facilement écrire la formule de calcul de l’aire du plus grand cercle, celui qui aura le diamètre maximal :
Comme les aires des cercles doivent être proportionnelles, on peut écrire pour l’aire associé à une valeur « n » :
Et comme on connait déjà la formule de la plus grande aire, on peut réécrire la formule précédente :
On peut aussi remplacer l’aire associée à une valeur « n » par sa formule, puisque ce qui nous intéresse c’est d’en connaitre le rayon :
Il ne nous reste plus qu’à simplifier notre formule, exactement comme pour la première méthode ! Du coup, je passe tout de suite à la fin :
Et voilà notre seconde formule !
Synthèse
Pour ceux qui ont eu la flemme de tout lire et de tout suivre, je vous redonne les deux formules. Et là, vous allez voir qu’elles se ressemblent beaucoup !
En définissant un diamètre minimal :
En définissant un diamètre maximal :
il me semble que le plus utile serait de donner la formule tenant compte des deux variables-contraintes
dmin
et
dmax
ce qui a priori consiste a introduire tout simplement un coefficient correcteur égal à
dmax/dmin
Bonjour,
En fait, en théorie, je ne peux pas fixer dmin et dmax en même temps, puisque l’un influe sur l’autre, et inversement. Par exemple, si je définis dmin, dmax n’a qu’une et une seule valeur possible ! Donc fixer dmin ou fixer dmax suffit, pas besoin de définir les deux ! :)
Vous pensiez à quoi exactement comme formule ?
Bonjour Adrien,
avez-vous comparé le résultat obtenu avec l’application de l’abaque de Cesar Lenz ? Il s’agit de l’outil qui était traditionnellement utilisé en cartographie statistique pour paramétrer le rapport de proportionnalité des surfaces des symboles ?
Je ne suis pas sûre que cela fonctionne aussi simplement, c’est-à-dire que la proportionnalité est bien rendue sur les surfaces des cercles. Ne retenir que le Min ou le Max traduit des proportionnalités qui sont plus tassées, vous mentionnez d’ailleurs à juste titre qu’il n’est pas possible de définir les deux valeurs simultanément. Ceci étant, si la série est très étendue, on peut réduire ces proportionnalités… à condition de les justifier en légende. Dans le cas inverse, on peut aussi appliquer une compensation de Flannery afin que les différentes tailles de surfaces puissent être mieux perçues.
F.
Bonjour F,
Effectivement, il s’agit là d’une application bête et brutale du principe de proportionnalité. Et dans le cas d’une distribution fortement dispersée, le résultat visuel ne sera pas forcément optimal. Je n’avais pas connaissance d’algorithmes différents permettant d’améliorer la perception des lecteurs, donc merci pour ce complément d’information ! Sans le savoir, j’avais déjà pensé à compléter mon exemple avec l’utilisation d’une fonction logarithmique pour gérer certaines formes de distribution statistiques, mais je ne sais pas si cela simplifie vraiment la compréhension de la carte en fin de compte…
Adrien
Vous pouvez effectivement appliquer une fonction logarithmique, ou même racine cubique… et, plus simplement, définir des classes de surfaces de cercles qui correspondent à des classes de valeurs de la série. Le résultat n’est généralement pas mauvais.
F.